机器算法验证 - 对数似然比的期望 - 吾爱随笔录

鉴于是具有联合分布和一维参数的独立同分布随机变量，设是 \theta 的最大似然估计. $X_{1},...,X_{n}$ $f(x\mid \theta)$ $\theta$ $\hat\theta$ $\theta$

基于 Wilks 定理，在的零假设下，有 $H_{0}: \theta=\theta_{0}$

- 2 l o g (f (x ∣ θ_{0}) / f (x ∣ \hat{θ})) \to χ_{1}^{2} as n \to \infty .

$-2log(f(x\mid \theta_{0})/f(x\mid \hat\theta))\rightarrow \chi_{1}^{2} \space \text{ as } \space n\rightarrow\infty.$

既然我们知道，无论如何我可以找到以下积分的值（对数似然比的期望）或至少是渐近的 $E\chi_{1}^{2}=1$

- 2 \int f (x ∣ θ_{0}) l o g (\frac{f (x ∣ θ_{0})}{f (x ∣ \hat{θ})}) d x = ?

$-2\int f(x\mid \theta_{0})log(\frac{f(x\mid \theta_{0})}{f(x\mid \hat\theta)})dx=?$

我的猜测是积分应该在1左右。有人可以分享一些关于上述积分的想法或参考吗？