假设我观察到 n 个单变量随机变量每个具有共同相关性。这些可能是共同的正常吗？如果是这样，条件是什么，我怎么知道它们是否共同正常。$X_1, \dots, X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$\rho$

没有仅基于边际 pdf的条件可以确保联合正态性。设表示标准正态密度。那么，如果和有联合 pdf 那么和是（正）相关的标准正态随机没有双变量联合正态密度的变量（计算出边际密度以验证这一点，如果不是很明显） 。所以，只要和$\phi(\cdot)$$X$$Y$

$$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y), & x \geq 0, y \geq 0,\\ 2\phi(x)\phi(y), & x < 0, y < 0,\\ 0, &\text{otherwise},\end{cases}$$ $X$$Y$$X$$Y$是相关的标准正态随机变量，我们如何判断和是否具有上面显示的联合 pdf 或具有相同相关系数的双变量联合正态密度？$X$$Y$

相反，如果和是独立随机变量（注意完全没有提到和的正态性）并且是正态的，那么和是正态随机变量（Feller，第 XV.8 章，定理 1)。$X$$Y$$X$$Y$$X+Y$$X$$Y$

这当然是可能的。

从理论的角度来看，有许多不同的方法可以“表征”多元正态分布，例如Hamedani, GG (1992)。双变量和多变量正态表征：简要调查。统计理论与方法通讯，21（9），2665-2688。

从实际的角度来看，例如Henze, N. (2002)。多元正态性的不变检验：批判性审查。统计论文，43（4），467-506。

这是个有趣的问题。我将从另一个角度来看它：您何时应该期望具有正态边际的联合分布，而不是多正态分布？

数据中发生的某些现象不能用多元正态分布来描述，而此类现象的一些示例（甚至是列表）很有趣。两个例子，作为开始：如果随机向量$(Y,X^T)^T$是多正规的（拿这里$Y$作为标量），那么条件期望$Y$给定$X$采用线性函数的形式$X$：

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E [Y \mid X=x]= \beta_0 + \beta^T x$$ 对于一些参数$\beta_0, \beta$（可以从期望和协方差矩阵计算得到$(Y,X^T)^T$）。所以，如果数据表明回归$Y$上$X$是非线性的，或者需要交互项，则联合分布不能是多正态的。有关示例，请参见两个相同边际正态随机变量的条件期望。

另一个例子是我可以分析或建模条件相关吗？这是关于研究以第三个变量为条件的两个变量之间的相关性，相关性如何随第三个变量的值而变化。如果三个变量是多正态的，可以很容易地证明条件相关是一个常数，所以这种现象不会发生。

但肯定还有很多其他有趣的例子......