您正在寻找的分布与两个非中心卡方分布的卷积有关，每个分布都有一个自由度（这是一个令人讨厌的自由度）。平方标准给你：

$$\begin{align} R^2 &= X^2 + Y^2 \\[6pt] &= \sigma_x^2 \Big( \frac{X}{\sigma_x} \Big)^2 + \sigma_y^2 \Big( \frac{Y}{\sigma_y} \Big)^2 \\[6pt] &\sim \sigma_x^2 \cdot \text{ChiSq}\Big(\frac{\mu_x}{\sigma_x}, 1\Big)^2 + \sigma_y^2 \cdot \text{ChiSq}\Big(\frac{\mu_y}{\sigma_y}, 1\Big)^2. \\[6pt] \end{align}$$

此分布没有封闭形式的表达式。但是，它具有特征功能：

$$\phi_{R^2}(t) = \frac{1}{1-2it} \cdot \exp \Big( \frac{it}{1-2it} \Big(\frac{\mu_x}{\sigma_x} + \frac{\mu_y}{\sigma_y} \Big) \Big).$$

如果和是独立的，和，遵循瑞利分布，因此：$x$$y$$\mu_x=\mu_y=0$$\sigma_x=\sigma_y=\sigma$$r$

$$\begin{align} & E[r] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \\[6pt] & V[r] = \frac{4-\pi}{2}\sigma^2 \end{align}$$

如果您擅长积分，请使用极坐标变换。

定义 表示

$$\left[\begin{array}{c} R \\ \theta \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \text{arctan}(\theta) \end{array} \right],$$ $$\left[\begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} R \cos(\theta) \\ R\sin(\theta) \end{array} \right].$$

使用变换定理得到联合密度，然后积分出。使用它，你可以得到你想要的任何时刻。不过，目前我很难整合。$g_{R,\theta}(r,t)$$t$$t$

我得到一个联合密度 与 并且和。如果方差相同且均值为零，您可以看到这将如何简化。另一个答案中提到了这一点。指数内的这两个分数将很好地相加，并且许多项将取消，您可以使用三角函数——整个函数将没有。

$$g_{R,\theta}(r,t) = \frac{r}{2\pi \sigma_x \sigma_y}\exp\left[-\frac{h(r,t)}{2} \right]$$ $$h(r,t) = \frac{r^2\cos^2(t) + \mu_x^2 - 2\mu_xr\cos(t)}{\sigma^2_x} + \frac{r^2\sin(t) + \mu_y^2 -2\mu_yr\sin(t)}{\sigma^2_y},$$ $0 < r$$0 < t < 2\pi$$t$

但是您对一般情况感兴趣。不确定，也许擅长数学的人可以在这里介入。

注意：符号上的一些差异：我使用大写字母，而 s 表示方差。$\sigma^2$