我想你的意思是和是 iid 注意我们可以表达$P_t$$P_{t-1}$

$$P_t = e^{\mu + \sigma Z_t}, P_{t-1} = e^{\mu + \sigma Z_{t-1}}$$

其中是 iid 标准正态分布。然后$Z_t, Z_{t-1}$

$$R_t = \frac {P_t - P_{t-1}} {P_{t-1}} = \frac {P_t} {P_{t-1}} -1 = \frac {e^{\mu + \sigma Z_t}} {e^{\mu + \sigma Z_{t-1}}} -1 = e^{\sigma (Z_t - Z_{t-1})} - 1$$

由于，我们有，因此得到的是一个移位的对数正态。$Z_t - Z_{t-1} \sim \mathcal{N}(0, 2)$$e^{\sigma (Z_t - Z_{t-1})} \sim \text{lognormal}(0,2\sigma^2)$$R_t$

只是一些不适合评论部分的快速想法。如果你看

$$\log (1+R_t) = \log(P_t) - \log(P_{t-i}) \sim N(0,2\sigma^2)$$

你发现它是正态分布的（作为两个正态分布的差异）。

所以$R_t+1$是对数正态分布的，并且$R_t$是一个移位的对数正态分布的 RV。

由于回报涉及股票价格在连续时间段内的变化，因此您的问题的答案取决于股票价格随时间的联合分布。由于您只指定了股票价格的边际分布，因此您没有在问题中提供足够的信息来确定利息分布。尽管如此，我将在这里给你一个有用的结果，它适用于一个简单的案例，并且可以通过一些额外的代数工作更广泛地扩展到其他模型。

平稳 AR(1) 模型：假设对数价格遵循以下形式的平稳模型：

$$\ln P_t = (1-\phi) \mu + \phi \ln P_{t-1} + \varepsilon_t \quad \quad \quad \varepsilon_t \sim \text{N}( 0, (1-\phi^2) \sigma^2),$$

在哪里$-1 < \phi < 1$是模型的自相关参数。在这种情况下，对数价格的平稳边际分布与您在问题中指定的一样（即，$\ln P_t \sim \text{N} (\mu, \sigma^2)$）。现在，自从$\ln P_t = \ln P_{t-1} + \ln (1+R_t)$后一项的密度函数为：

$$\begin{equation} \begin{aligned} p(\ln (1+R_t) = r) &= \int \limits_{-\infty}^\infty p(\ln (1+R_t) = r | \ln P_{t-1} = s) \cdot \text{N}(s|\mu, \sigma^2) ds \\[6pt] &= \int \limits_{-\infty}^\infty p(\ln P_t = r+s | \ln P_{t-1} = s) \cdot \text{N}(s|\mu, \sigma^2) ds \\[6pt] &= \int \limits_{-\infty}^\infty \text{N}(r+s | \mu + \phi (s-\mu), (1-\phi^2) \sigma^2) \cdot \text{N}(s|\mu, \sigma^2) ds. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

为了求解这个积分方程，我们需要在被积函数中的正态密度函数的指数项中完成平方。这将导致正态分布，因此$1+R \sim \text{LogN}$. 获得分布的参数需要你完成上述积分中的平方，并执行后续代数。我把它留作练习。