机器算法验证 - E[X| X>Y] 对于独立的 X, Y ~ N(0,1) - 吾爱随笔录

机器算法验证正态分布期望值条件期望

2022-04-07 14:44:24

我正在寻找有条件的期望 $E[X| X>Y]$ 对于独立 $X, Y \sim N(0,1).$ 我只是表明 $P(X\leq a | X>Y) = \Phi(a)^2$ ，在哪里 $\Phi(a)$ 是普通的 CDF $(0,1)$ ，但我不知道如何计算积分以获得期望值。

1个回答

重写和使用期望的线性，

E [X | X > Y] = E [X | X - Y > 0] = E [X - Y | X - Y > 0] + E [Y | X - Y > 0] .

$E[X | X > Y] = E[X | X - Y > 0] = E[X - Y | X - Y > 0] + E[Y | X - Y > 0].$

现在定义 $X' = -X, Y' = -Y$ . 然后

E [Y | X - Y > 0] = E [- Y^{'} | Y^{'} - X^{'} > 0] = - E [Y^{'} | Y^{'} - X^{'} > 0] .

$E[Y | X - Y > 0] = E[-Y' | Y' - X' > 0] = -E[Y' | Y' - X' > 0].$

但是，请注意 $Y', X' \sim X, Y$ ，所以我们有 $E[Y' | Y' - X' > 0] = E[X | X - Y > 0]$ . 然后插回去，

E [X | X > Y] = E [X - Y | X - Y > 0] - E [X | X > Y],

$E[X | X > Y] = E[X - Y | X - Y > 0] - E[X | X > Y],$

暗示着

E [X | X > Y] = \frac{E [X - Y | X - Y > 0]}{2} .

$E[X | X > Y] = \frac{E[X - Y | X - Y > 0]}{2}.$

最后，请注意 $X - Y$ 是一个正常的 RV，均值为 0，方差为 2，所以 $E[ X - Y | X - Y > 0]$ 很容易找到。

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