机器算法验证 - 如何使用 MGF 导出卡方分布的二阶矩？ - 吾爱随笔录

如何使用 MGF 导出卡方分布的二阶矩？

机器算法验证时刻力矩生成函数卡方分布

2022-04-13 03:18:17

我需要知道如何使用矩生成函数计算卡方分布的二阶矩。我知道卡方分布的二阶矩由给出。但是当我尝试推导它时，我没有得到这个答案。 $\mu'_2 = r(r+2)$

如果我自己尝试，这就是我得到的：

卡方矩生成函数由 $M_X(t) = (1-2t)^{-r/2}$

一阶矩 $\mu'_1 = M_X'(0)=-2*{-r/2}(1-2t)^{-3r/2} =r(1-2t)^{-3r/2}|_{t=0}=r$

第二时刻 $\mu'_2 = M_X''(0) =-3/2r^2*-2(1-2)^{-5r/2}=3r^2(1-2)^{-5r/2}|_{t=0}=3r^2$

正如你所看到的，我得出的第二个时刻的答案不应该是正确的。我该如何解决这个问题？

2个回答

你在使用衍生品时犯了一个错误。

M_{X}^{'} (t) = \frac{d}{d t} (1 - 2 t)^{- r / 2} = \frac{2 r}{2} (1 - 2 t)^{- r / 2 - 1} = r (1 - 2 t)^{- \frac{r + 2}{2}} .

$M_X'(t) = \dfrac{d}{dt} (1 - 2t)^{-r/2} = \dfrac{2r}{2} (1-2t)^{-r/2 -1} = r(1-2t)^{-\frac{r+2}{2} }.$

你在取二阶导数时犯的同样的错误。

作为记录，更典型的做法是使用 $\nu$ 作为自由度，使用 $r$ 作为矩数。那么卡方密度函数为

$\begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} \frac{2^{-\frac{\nu }{2}} e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{\nu }{2}-1}}{\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)} & x>0 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}$

矩生成函数为

$(1-2 \nu )^{-\frac{\nu }{2}}$

时刻是 $r^{th}$

$2^r \left(\frac{\nu }{2}\right)_r$

其中是 Pochhammer 使得前四个矩分别是 $\left({.}\right)_r$

$\nu$ 、、和 \。
$\nu (\nu +2)$
$\nu (\nu +2) (\nu +4)$
$\nu (\nu +2) (\nu +4) (\nu +6)$

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