TL;DR：连续算子表现出这种行为，任何忠实的离散化都会继承它。

更深切：如果您查看连续算子的频谱（特征对）$\frac{d^2}{dx^2}$, 特征向量是形式的三角函数$\cos(kx)$和$\sin(kx)$, 有特征值$k^2$. 低频函数（即恒定或非常平滑的函数）可以很好地表示在任何网格上。随着您对更多点进行细化和采样，您也将更接近高频解。因此，基本上这个算子的任何收敛离散化都会有一个几乎恒定的$\lambda_{min}$特征值和$\lambda_{max}$随样本数二次增长的特征值（因此，条件数$\kappa = \lambda_{max}/\lambda_{min}$随 N 二次增长）。所以你不能仅仅通过摆弄 FD 方案和 FE 方案等来真正摆脱这种命运。

这对于（例如）Krylov 求解器或其他收敛取决于条件数的技术是有问题的（因此解决这个问题需要超过线性的时间复杂度）。但是您可以使用多分辨率分析（尤其是多网格，它可以解决这个问题，以及许多其他类似的，在$O(N)$时间）。多重网格的收敛特性都是基于这种光谱/傅里叶分析。