计算科学 - 分段多项式插值：Hermite vs Lagrange - 吾爱随笔录

分段多项式插值：Hermite vs Lagrange

计算科学 pde 插值

2021-12-17 19:08:11

我对这两种方法的定性行为有点困惑。考虑二次情况，从我知道值和要找到值的如果我想在任何点中找到三个值接近的点，并用值拟合这三个点之间的抛物线。一旦有了抛物线，我就会将未知点的值估计为该点的抛物线值。由于多项式是二阶的，我将匹配泰勒展开式中最多为 2 的所有项，并且在本地会有错误。 $x_i$ $y_j$ $y_j$ $x_i$ $f(x_i)$ $O(h^3)$

另一方面，对于 Hermite 三次样条，我在每两个点之间拟合抛物线，保持两侧所有节点的导数相等。同样，我希望本地错误为。 $O(h^3)$

那么，两者在错误方面有区别吗？如果是这样，为什么一个人更喜欢一种方法而不是另一种？谢谢！

2个回答

收敛顺序相同。我的直觉是 Hermite 插值的误差幅度将大于 Lagrange 插值，但使用前者的真正原因是你得到的插值是，即连续可微。另一方面，拉格朗日插值只是局部二次多项式，但在节点处不是连续可微的。在某些情况下，这还不够，我们确实需要一个函数的连续可微近似。 $C^1$

三次 Hermite 插值需要与二次多项式拟合（三个函数值）不同的数据（函数值和两个端点的导数）。此外，三次 Hermite 插值适合 4 自由度的三次方，因此为阶，而二次多项式仅适合 3 自由度，因此为阶。 $O(h^4)$ $O(h^3)$

如果通过拉格朗日（或牛顿插值）拟合三次多项式，则与三次 Hermite 样条一样，误差将为，但使用的数据仍然不同，因此（除非插值函数完全是三次）插值通常会有所不同。 $O(h^4)$

如果您在多个点有函数值和导数值，三次 Hermite 样条插值通常比仅通过拉格朗日函数值的多项式插值更稳健。（如果你的原始函数是高度可微的，你会得到更高的阶数，但如果你通过 Hermite 数据使用融合牛顿插值，你可以获得更高的阶数。）

[编辑] 注意三次 Hermite 样条不需要大型线性系统的解。如果你有导数，它们就像拉格朗日插值一样容易应用。要在两点和之间进行插值，定义并得到其中和通过匹配两个端点的导数来确定。你得到的精度比二次拉格朗日插值高一个数量级。 $x_i$ $x_{i+1}$ $h:=x_{i+1}-x_i$ $t\in[0,1]$

f (x_{i} + t h) = (1 - t) f_{i} + t f_{i + 1} + t (1 - t) (u + t v),

$f(x_i+th)=(1-t)f_i+tf_{i+1}+ t(1-t)(u +tv),$

u

$u$

v

$v$

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