对此的一个很好的参考是LeVeque 的有限差分书的第 10 章。当然，它只涵盖了基本的有限差分方法，还有很多其他方法（都在线条框架的方法内）。线的方法确实适用于多维，在刚刚给出的参考文献中讨论了二维问题。

现有的大多数方法和库都是基于线条的方法，所以如果你想要有意义的建议，你需要问一个更具体的问题。

这是一个相当大的问题。基本思想是在求解$\partial_t u = \mathcal{L}u$, 你近似$\mathcal{L}$有一个矩阵$A$, 并解决

• 使用什么方法来求解 ODE。由于抛物线 PDE 的性质以及它们产生的 ODE 的刚性系统，该方法必须是隐式的。
• 如何求解线性方程组$A^{-1}x$出现在 ODE 求解器中。这里$A$是稀疏的。

这些问题并不是直线法或抛物线方程所独有的。Hairer 和 Wanner 的“求解常微分方程”等书籍将涵盖这一点；LeVeque的“有限差分方法”；Trefethen在这里免费提供了一本未完成的教科书；其他 PDE 教科书也涵盖了这一点。

请注意，只是一个显式的 Runge-Kutta 方法不太可能直接工作：ODE 系统通常是僵硬的、稀疏的和非常大的。

粗略地，如何求解所得到的线性方程组的问题可以用不同的方式来解决。如果你能解决$A^{-1}x$直接有效，没有问题。有（多样化的！）迭代方法，如果你能为矩阵找到一个好的预处理器，它们会很好地工作。还有不同的拆分方式，你可以在里面写$A=A_1+A_2+\cdots$，并定义仅依赖于系统解的 ODE 的数值解$A_k^{-1}x$. 你可以挑$A_k$方便求解，例如微分算子的各个部分沿各个维度进行。交替方向隐式方法是这种方法的一个示例。

对于软件，大多数 PDE 包都会做这样的事情，比如 CVODE（在 SUNDIALS 中）可能是合适的。

编辑 对于非线性系统，过程大致相同，只是不需要解决像这样的系统$A^{-1}x$您需要使用类牛顿法求解非线性方程组，其中$J^{-1}x$雅可比矩阵需要有效；再次，雅可比很可能是稀疏且非常大的。在这种情况下，CVODE看起来很合适。

编辑正如David Ketcheson正确指出的那样，我的回答假设了许多问题中没有明确指定的事情，如果这些假设不成立，这将使这个答案非常具有误导性。

我没有足够的声誉发表评论，但我希望这个答案对你有所帮助。就个人而言，我发现我通过例子学得最好。尝试查看此处的代码，了解如何在 Python 中使用中心有限差分逼近（使用了 ODE 求解器）实现 MOL。

如果您想了解有关求解 ODE、抛物线 PDE 和 MOL 的更多信息，我建议您阅读 Heath 的科学计算（第 11 章），其中还提供了一些求解 MOL 的示例。祝你好运！