在@MPIchael 的答案上展开（某种程度上），您可以选择任何您喜欢的平滑函数并将其插入热方程以给出一个问题，然后以另一种方式工作。在数值方法中，我们称之为制造解法，它广泛用于验证旨在模拟偏微分方程的计算机程序。您必须在系统的右侧添加一个强制函数，并将左侧的未知术语分组，但这是一种非常常见的编写方式。您还可以查看此问题及其答案，以获取可能帮助您编写所需内容的论文和图书馆的链接。Neumann BC 是在您拥有所需的解决方案后在边界处选择不同的功能来执行的问题。

TL DR：

$$u_1(x_1) = \cos(2\pi~(\frac{x_1}{L_1}) - \pi) + 1$$ $$u_2(x_2) = \cos(2\pi~(\frac{x_2}{L_2}) - \pi) + 1$$ $$u(x,t) = \exp(-a t) u_1(x_1) u_2(x_1)$$

如何构建它：

正弦和余弦很容易区分，因此它们是构建此类解决方案的良好起点。我们选择了在域边界处导数为零的余弦部分和偏移量（如果）：$L_x=1$

$$u_1(x_1) = \cos(2\pi~(\frac{x_1}{L_1}) - \pi) + 1$$

（见可视化）

的二阶空间导数是：$u_1(x_1)$

$$\Delta u_1(x_1) = 4 \pi^2 cos(2 \pi x_1)$$

现在，在更高维度上，您可以通过乘以这样的三角函数来构建解决方案。所以你可以构建：

$$u(x) = u_1(x_1) u_2(x_2)$$

其中 u_2 也被选为余弦。

（参见2D 可视化）

来猜测热方程的完整解$u(x)$

进入：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u(x,y)$$

当你计算 lhs 时，你会发现它几乎与 rhs 相同，除了一个因子。所以你可能会猜到，以变量作为参数，幅度会呈指数衰减。$t$