计算科学 - 在气泡函数的面上积分 - 吾爱随笔录

计算科学有限元

2021-12-10 00:23:36

我在有限元代码中工作，我需要计算其中是网格中某个四面体定义的常用气泡函数，其中是通常的重心坐标。注意，其中和是共享面的四面体。我在哪里（书或纸）可以找到这个值？

\int_{F} b_{F}

$\int_F b_F$

F

$F$

K

$K$

b_{F}

$b_F$

b_{F} = 9 λ_{1} λ_{2} λ_{3}

$b_F=9\lambda_1\lambda_2\lambda_3$

λ_{i}

$\lambda_i$

supp (b_{F}) = K_{+} \cup K_{-}

$\textrm{supp}(b_F)=K_+\cup K_-$

K_{+}

$K_+$

K_{-}

$K_-$

F

$F$

例如，在 2D 中（其中是三角形，是某个边）和 $K$ $F$ $b_F=4\lambda_1\lambda_2$

\int_{F} b_{F} = \frac{2}{3} | h_{F} |

$\displaystyle\int_F b_F=\frac{2}{3}\,|h_F|$

是四面体时我需要结果。 $K$

1个回答

我将假设您的四面体的三角形面具有直边，因为您的 2D 示例中的三角形边缘就是这种情况。

对于直边三角形，有一个简单的封闭式表达式用于对三角形上的多项式进行积分。例如，在本参考文献的公式 15.26 中给出了该表达式：http: //www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.Ch15.d/IFEM.Ch15.pdf

该等式，使用列出的参考符号是：

\frac{1}{2 A} \int_{Ω^{e}} ζ_{1}^{i} ζ_{2}^{j} ζ_{3}^{k} d Ω = \frac{i! j! k!}{(i + j + k + 2)!}, i \geq 0, j \geq 0, k \geq 0.

${\frac{1}{2A}}\int_{\Omega^e}\zeta^i_1\zeta^j_2\zeta^k_3 d\Omega = {\frac{i!j!k!}{(i+j+k+2)!}}, i\ge0, j\ge0, k\ge0.$

该参考文献没有将三角形重心坐标定义为，而是使用。对于您的函数，、i、j 和 k 都是一。因此，通过简单的替换，您的积分将等于，其中是三角形的面积。 $\lambda_i$ $\zeta_i$ $9\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ $3A/20$ $A$

顺便说一句，如果您需要执行这些，还有一个四面体上多项式积分的封闭式表达式。它可以作为参考公式 9.21 找到：http: //www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AFEM.d/AFEM.Ch09.d/AFEM.Ch09.pdf

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