我正在学习 DG 方法，为了稍微练习一下，我正在使用 deal.ii 库。特别是，我正在查看step-12，他们在哪里解决

$$\operatorname{div}(\beta u) = 0$$ $$u = g_D \text{ on } \Gamma^-$$

对于一个领域$\beta$以及流入边界的不连续数据。

为了验证收敛的顺序，我决定构造一个制造的解决方案。

$$U(x,y)=e^x \sin(y)$$ 用作字段$\beta =(-y,x)$这与他们拥有的相同，但没有缩放到一个。这样流入边界就和之前一样了，即下边界和右边界。然后方程变为

$$\operatorname{div}(\beta u) = e^x(\cos(y)x \sin(y) y)$$ $$u=U_{|\Gamma^-}$$ 正如您在可能的扩展部分中所读到的，他们说

可以证明对于p阶元素，收敛阶为$p + \frac{1}{2}$在任意网格上

就我而言$p=1$所以我应该得到订单$\frac{3}{2}$在里面$L^2$规范，但这是我得到的（通过reduction_rate_log2在ConvergenceTable课堂上使用）

cycle cells dofs        L2             H1       
    0    64   256 9.776e-04    - 5.471e-02    - 
    1   121   484 6.739e-04 0.54 4.156e-02 0.40 
    2   220   880 4.225e-04 0.67 3.323e-02 0.32 
    3   409  1636 2.138e-04 0.98 2.326e-02 0.51 
    4   757  3028 1.203e-04 0.83 1.720e-02 0.44 
    5  1399  5596 7.136e-05 0.75 1.311e-02 0.39 
    6  2575 10300 3.567e-05 1.00 9.398e-03 0.48 
    7  4699 18796 1.991e-05 0.84 7.059e-03 0.41 
    8  8635 34540 1.037e-05 0.94 5.142e-03 0.46 
    9 15799 63196 5.284e-06 0.97 3.727e-03 0.46 

问：这对吗？我的意思是，这是否符合秩序的理论界限$\frac{3}{2}$?

为了确认我的代码的优点，这与第 12 步基本相同，但有明显的修复（即程序集、精确解的定义和缩放比例的变化）$\beta$) 这是我通过在全球范围内细化网格所得到的：

cycle cells  dofs        L2             H1

0    64    256 9.776e-04    - 5.471e-02    - 

1   256   1024 2.463e-04 1.99 2.744e-02 1.00 

2  1024   4096 6.180e-05 1.99 1.373e-02 1.00 

3  4096  16384 1.548e-05 2.00 6.871e-03 1.00 

4 16384  65536 3.873e-06 2.00 3.436e-03 1.00 

5 65536 262144 9.686e-07 2.00 1.718e-03 1.00 

这$L^2$错误和$H^1$错误收敛正确，如下表所示，所以我认为我的代码实际上没有错误。

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编辑：

如您所见，EOC 在$H^1$在一定数量的自由度后下降。我怎样才能证明这一点？

cells  dofs     u_L2_norm      u_H1_norm    
   64    1024 9.679e-08    - 1.223e-05    - 
  256    4096 6.045e-09 4.00 1.532e-06 3.00 
 1024   16384 3.777e-10 4.00 1.918e-07 3.00 
 4096   65536 2.360e-11 4.00 2.556e-08 2.91 
16384  262144 1.475e-12 4.00 9.353e-09 1.45 
65536 1048576 9.528e-14 3.95 8.801e-09 0.09