计算科学 - 关于分数阶导数的一些问题 - 吾爱随笔录

我读过一些关于通过有限元法求解的时间分数偏微分方程的论文。时间分数导数是由下式定义的 Caputo 导数

\frac{\partial^{α} u}{\partial t^{α}} = \frac{1}{Γ (1 - α)} \int_{0}^{t} \frac{\partial u}{\partial s} \frac{d s}{(t - s)^{α}}, 0 < α < 1.

$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{0}^t\frac{\partial u}{\partial s}\frac{ds}{(t-s)^{\alpha}},~~~~0<\alpha<1.$

现在，我们考虑以下时间分数扩散方程

\begin{aligned} \frac{\partial^{α} u}{\partial t^{α}} - Δ u = f, i n Ω, \\ u = 0, o n \partial Ω, \\ u (0) = u_{0}, \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}-\Delta u=f,~~in~~\Omega,\\ &u=0,~~~~~~~~~on~~~\partial\Omega,\\ &u(0)=u_0, \end{align}$ 在哪里

Ω

$\Omega$ 是凸有界域。

1.时间分数导数的奇异性是什么意思？

2.在什么情况下，时间分数导数的奇异性会导致解的平滑度低 $u$ .

3.什么是函数的规律性对时间不平滑？

谁能给我一些解释？