我的计划是求解域右半部分的热方程，同时使左半部分与恒温完全隔离。为此，我使用非常低的电导率对左半部分进行建模。然后我在右半部分的顶部应用热通量，在底部应用 Dirichlet BC。对于左侧部分，我只是将 Dirichlet BC 应用于左侧。我认为左边的部分不会受到影响，并且温度恒定，因为它的电导率很低。

$$\nabla \cdot \rho \nabla T = 0 ~ \text{in} ~\Omega=[0,1]\times[0,1]$$ $$\rho = \begin{cases} 1 ~ \text{if} ~x > 0.5 \\ 10^{-8} ~ \text{else} \end{cases}$$

右半边的边界条件

$$\nabla T \cdot n = 5 ~\text{in} ~ \Gamma_N = \{(x,y)~ \forall ~ x \gt 0.5 ~\text{and}~ y= 1\}$$ $$T = 0 ~\text{in} ~ \Gamma_{D_1} = \{(x,y)~ \forall ~ x \gt 0.5 ~\text{and}~ y= 0\}$$

左半边的边界条件

$$T = 0 ~\text{in} ~ \Gamma_{D_2} = \{(x,y)~ \forall ~ x = 0 \}$$

我正在用一阶拉格朗日元素解决这个问题。我期待在右半部分看到我的解决方案，然后让左半部分大部分恒定，值为 0，并在靠近界面的位置快速变化以保持连续性。考虑到左半部分主要是绝缘材料，这是有道理的。相反，我看到的是从界面到边界的平滑过渡。我的数学实现有问题吗？如果有帮助，请附上 FEniCS 代码

from dolfin import *

mesh = UnitSquareMesh(100, 100)

V = FunctionSpace(mesh, 'CG', 1)
t, w = TrialFunction(V), TestFunction(V)

Rho = FunctionSpace(mesh, 'DG', 0)
rho = Function(Rho)
rho.interpolate(Expression("(x[0] > 0.5) + 1e-8", domain=mesh, degree=1))
File("test_rho.pvd") << rho

a = inner(rho*grad(t), grad(w))*dx

top = CompiledSubDomain("x[1] > 1 - 0.01 && x[0] >= 0.5")
bottom_right = CompiledSubDomain("x[0] >= 0.5 && x[1] < 0.01")
left = CompiledSubDomain("x[0] <= 0.001")
meshfunc_ds = MeshFunction("size_t", mesh, mesh.topology().dim() - 1)

TOP, LEFT, BOTTOMRIGHT = 1, 2, 3
top.mark(meshfunc_ds, TOP)
left.mark(meshfunc_ds, LEFT)
bottom_right.mark(meshfunc_ds, BOTTOMRIGHT)

File("test_measures.pvd") << meshfunc_ds

ds = Measure("ds")(subdomain_data=meshfunc_ds)
L = Constant(5.0)*w*ds(TOP)

bc1 = DirichletBC(V, Constant(0.0), meshfunc_ds, BOTTOMRIGHT)
bc2 = DirichletBC(V, Constant(0.0), meshfunc_ds, LEFT)

t_sol = Function(V)
solve(a==L, t_sol, bcs=[bc1, bc2])
File("test_temperature.pvd") << t_sol
```