计算科学 - 六面体的正交基 - 吾爱随笔录

通常首选正交多项式作为基函数。最近我学会了选择正交基在用作模态基时进一步将质量矩阵从对角线简化为简单的单位矩阵。但我很困惑如何获得归一化因子。

假设参考六面体的每个方向上的正交勒让德多项式是，，。然后使用张量积方法，十六进制的正交基是简单的吗？对于四边形，简单的怎么样，或者我们是否需要乘以某个常数来保持基的正交性？我从教科书 (Hesthaven & Warburton) 中了解到，三角形和四面体的正交基具有不同的归一化因子，即简单地取消四面体中正交基的一个方向不会导致三角形的基础。 $P_1$ $P_2$ $P_3$ $P_1\times P_2\times P_3$ $P_1\times P_2$

三角形：

\sqrt{2} P_{i}^{(0, 0)} (a) P_{j}^{(2 i + 1, 0)} (b) (1 - b)^{i}

$\sqrt{2} P_i^{(0,0)}(a) P_j^{(2i+1,0)}(b) (1-b)^i$

四面体：

2 \sqrt{2} P_{i}^{(0, 0)} (a) P_{j}^{(2 i + 1, 0)} (b) P_{k}^{(2 i + 2 j + 2, 0)} (c) (1 - b)^{i} (1 - c)^{(i + j)}

$2\sqrt{2} P_i^{(0,0)}(a) P_j^{(2i+1,0)}(b) P_k^{(2i+2j+2,0)}(c) (1-b)^i (1-c)^{(i+j)}$