变分法问题通常采用以下简单形式：find$u(t)$满足一些边界条件并最小化

$$F[u] = \int_{t=0}^{t=t_f} f(u(t),u'(t),t) dt.$$

我遇到了一个更普遍的问题。我有一个功能$F[u]$那要复杂得多。给定$u$（或者在这种情况下，函数集$u^i(\mathbf{x})$在哪里$\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$) 我求解一个依赖于这些函数的 pde，并分析该解以给出函数的值$F$. 给定一组函数$u^i(\mathbf{x})$, 我可以用数值计算$F[u^i]$非常有效。但是，我想探索函数空间以找到$u^i$最大化$F$. 使事情复杂化的是，我对$u^i$我可以选择：例如，我需要一个特定的路径积分$u^i$等于某个值。

我在变分法中发现的所有方法似乎都以某种方式假设泛函$F$是上面概述的简单形式。是否存在更通用的数值方法？我正在寻找一种方法或算法，它只需要能够对任何给定函数的函数进行数值评估，并从中搜索函数空间并收敛到最优解。放置（理想情况下是任意的）约束的能力$u^i$将是一个额外的好处。

也许我要求太多了。我将不胜感激任何帮助或建议。

谢谢