计算科学 - 拉普拉斯方程解的半范式 - 吾爱随笔录

拉普拉斯方程解的半范式

计算科学有限元

2021-12-20 16:16:23

如果和上的（弱形式）拉普拉斯方程的解，分别具有狄利克雷边界值和。如果我们知道 $u_1$ $u_2$ $\Omega$ $u_{\partial\Omega, 1}$ $u_{\partial\Omega, 2}$

u_{\partial Ω, 1} \neq u_{\partial Ω, 2},

$u_{\partial\Omega,1} \neq u_{\partial\Omega, 2},$

‖ u_{1} - u_{2} ‖_{L^{2} (Ω)} \neq 0.

$\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega)} \neq 0.$

我的问题是，对于任何开放集 $\tilde{\Omega} \subset \Omega$ ，

‖ u_{1} - u_{2} ‖_{L^{2} (\tilde{Ω})} \neq 0

$\|u_1-u_2\|_{L^2(\tilde{\Omega})} \neq 0$ 是否总是正确的？

1个回答

让我们注意。我们知道在。 $w = u_1 - u_2$ $-\Delta w = 0$ $\Omega$

假设存在使得上（不失一般性，我们可以假设）。由于满足拉普拉斯方程，边界的跳跃：并且对于正态导数同样如此。 $\tilde{\Omega} \subset \Omega$ $w = 0$ $\tilde{\Omega}$ $\overline{ \tilde{\Omega} } \subset \Omega$ $w$ $w$ $\tilde{\Omega}$ $[w]_{|\partial \tilde{\Omega}} = 0$

因此，在中，满足拉普拉斯方程，并且在中，具有空迹和空正态导数。 $\Omega \backslash \tilde{\Omega}$ $w$ $\partial \tilde{\Omega}$ $w$

通过延续论证（参见 R. Leis，“数学物理学中的初始边值问题”，1986 年），为 0 。 $w$ $\Omega \backslash \tilde{\Omega}$

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