考虑一个将给定信号映射到另一个信号空间的线性时不变系统。如果系统产生输入信号的缩放版本$\phi$， 说$\lambda \phi$，那么我们可以查看$\lambda$和$\phi$分别作为特征值和特征向量 ($λ$给我们本征信号的增益或衰减）。

现在假设系统的脉冲响应为$h[n]$, 当你输入$x[n]$是一个特征信号，你有输出

$$y[n] = x[n]\sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$$

所以

$$\lambda = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$$

请注意，这只是离散时间傅里叶变换$h[n]$自从$H(e^{j \omega}) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$. 此外，傅里叶变换$x[n]$也变得有意义。

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请注意，特征向量并不总是构成基础。例如，$\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0\end{pmatrix}$已$0$作为其唯一的特征值，具有特征空间$\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$. 没有足够的独立特征向量来形成基。

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有关信号的特征值或特征向量的物理意义的其他讨论，请参阅researchgate的这篇文章。是的，您可以使用所有特征向量重建原始信号，或使用其中一些特征向量来近似信号