电器工程 - 傅立叶与拉普拉斯 - 吾爱随笔录

傅立叶与拉普拉斯

电器工程拉普拉斯变换

2022-01-13 03:55:04

假设我在黑匣子中有一个 RLC 网络，我在实验室里用力敲击它以获得脉冲响应。我现在有两个选择，我可以采用傅里叶变换或拉普拉斯变换来获得频率响应。我怎么知道该选择哪一个以及每个之间的物理差异是什么？

有人告诉我，拉普拉斯变换也会给你瞬态响应或衰减，而傅里叶变换不会。这是真的？如果我突然在输入端应用正弦信号，那么在系统稳定之前输出不是正弦信号的短时间内应该会有瞬态响应。有人可以给我一个关于 RLC 网络的实际例子来说明这是怎么回事吗？

此外，通常在电路课上，我们采用电路的拉普拉斯变换，其中实部 $s = \sigma + j\omega$ 无论如何都假定为零，所以当我们使用 $\frac{1}{Cs}$ 来表示电容器的拉普拉斯变换，假设这等价于 $\frac{1}{j\omega C}$ . 我相信实部为零，因为通过电容器的电流与两端的电压相差 90 度 - 这是正确的吗？我认为傅里叶变换与拉普拉斯变换相同 $\sigma = 0$ . 然而，这似乎不是真的 - 考虑 $x(t) = u(t)$ ：

F {x (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{- j ω t} d t = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq L {x (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t = \frac{1}{s}

$\mathcal{F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^\infty{u(t)e^{-j\omega t}}dt = \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \neq \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_0^\infty{e^{-st}dt} = \frac{1}{s}$

我们可以看到，即使我替换 $s = j \omega$ 由于拉普拉斯变换的输出没有实部，它们仍然不相等。为什么傅里叶变换有一个额外的脉冲分量而拉普拉斯没有？什么时候可以换 $s = j\omega$ 并期望傅立叶变换等于拉普拉斯变换？

编辑：我问题的后半部分在这里和这里都有答案。

2个回答

傅里叶变换和拉普拉斯变换不一样。首先，请注意，当我们谈论拉普拉斯变换时，我们经常指的是单边拉普拉斯变换，其中变换积分开始于 $t=0$ （而不是在 $t=-\infty$ )，即我们通常使用拉普拉斯变换来分析因果信号和系统。对于傅里叶变换，情况并非总是如此。

为了了解两者之间的差异，重要的是查看拉普拉斯变换的收敛区域 (ROC)。对于因果信号，ROC 始终是右半平面，即没有极点（在 $s$ ) 在某个值的右边 $\sigma_0$ （在哪里 $\sigma$ 表示复变量的实部 $s$ ）。现在如果 $\sigma_0<0$ ，即如果 $j\omega$ 轴在 ROC 内部，那么您只需通过设置获得傅里叶变换 $s=j\omega$ . 如果 $\sigma_0>0$ 那么傅里叶变换就不存在了（因为对应的系统是不稳定的）。第三种情况（ $\sigma_0=0$ ) 很有趣，因为这里确实存在傅立叶变换，但不能通过设置从拉普拉斯变换获得 $s=j\omega$ . 你的例子就是这种类型。阶跃函数的拉普拉斯变换在 $s=0$ ，它位于 $j\omega$ 轴。在所有这些情况下，傅里叶变换都有额外的 $\delta$ 在极点位置的脉冲 $j\omega$ 轴。

请注意，傅里叶变换不能处理瞬态是不正确的。这只是一个误解，可能是因为我们经常使用傅里叶变换来分析系统的稳态行为，方法是应用定义为 $-\infty<t<\infty$ . 另请参阅类似问题的答案。

好的，所以你敲击一个由 RLC 组件制成的黑匣子，然后测量响应——脉冲响应。现在您想知道频率响应，即对任何正弦曲线的响应。

首先，你不能用纯正弦波真正激发你的系统。太晚了，你应该从大爆炸开始。您能做的最好的事情是使用具有额外频率分量的因果正弦曲线。

但是假设您想知道的是系统对时域中任意输入的响应。你真的不需要傅立叶或拉普拉斯来知道这一点。卷积就可以了。

你手里有什么，真的吗？你测量了脉冲响应。您以某种方式将其绘制出来，让我们连续说，而不是对信号进行采样的 ADC - 这通常是发生的事情，而您会询问 Z 变换与 FFT 的关系。让我们也假设你给它的 bang 是一个很好的 delta：强但短。

由于您的系统是 RLC，它是线性的，因此叠加原理起作用（否则我们不会谈论这个）。任何输入都可以通过添加时间偏移的衰减脉冲来构建（有点 - 这是一个限制）。所以总的反应只是将所有这些单独的反应加在一起。这个加法正是卷积 input(t)*impulseResponse(t) 所做的。您可以将 RLC 系统视为“硬件卷积器”。这可能是预测对任意输入的响应的最准确方法。

现在我想澄清一些事情，这就是拉普拉斯与傅立叶的关系。我们的领域是因果函数，因为否则将单边拉普拉斯与傅立叶进行比较是没有意义的。此外，所有真实信号都是因果的。在数学上，拉普拉斯变换只是函数的傅里叶变换预乘以衰减指数。就是这么简单。因此，如果由于积分是无限的而不存在傅立叶变换，那么如果衰减指数足够强，拉普拉斯变换可能仍然存在，因为“衰减”函数的积分会收敛。从数学的角度来看，这在某些情况下非常有用。

但您真正想要的是为您的工厂制作一个控制系统。在这种情况下，您要做的是检查响应，然后用一阶或二阶模型加上群延迟来近似它。所以它不会是准确的，但是通过这样做，你会抛弃实际响应的所有小细节，并获得能够将该模型插入控制方程和算法以及数十本书的控制理论知识的巨大优势并设计和模拟您的控制系统。在这种情况下，您将使用拉普拉斯模型，因为立即获得可用于稳定性分析的极点和零点。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇2N2222A 发射极和集电极不匹配下一篇为什么叠加定理在这里失败了？