我将从一个平均滤波器类比开始。平均离散信号的最简单（非平凡）和最便宜的方法$x[n]$就是计算相邻两个样本的均值，用这个均值代替两个样本。这相当于计算离散系统：

$$\frac{x[2n]+x[2n+1]}{2}\,.$$

这可以重铸为卷积

$$y[n] = x[n]\ast \frac{ [1\; 1]}{2}$$

你可能还记得$\frac{ [1\; 1]}{2}\ast \frac{ [1\; 1]}{2} = \frac{ [1\;2\; 1]}{4}$. 然后 $\frac{ [1\;2\; 1]}{4}\ast \frac{ [1\; 1]}{2} = \frac{ [1\;3\;3\; 1]}{8}$

这应该让您想起帕斯卡或二项式三角形，它们演变为高斯形状：

在这里，从一个粗略的、简单的有限脉冲响应两点平均滤波器开始，通过迭代，您可以得到一个 IIR，而不是递归的无限支持高斯滤波器。这个例子更多地是对离散滤波器如何生成连续函数的隐喻。

为了能够在过滤器中添加下采样而不丢失信息，限制了数据平滑图片。在离散上下文中，这需要有一个下采样的平滑版本，以及一个差异版本，用于记录数据何时不够平滑以至于看起来像它的平滑版本。这是最实用的离散小波变换的根源。多分辨率分析涉及一个（但未知的）缩放函数$\phi$在两个尺度上，通过线性组合，权重对应于过滤器$H$系数。例如，这在Signal Processing: Fourier and Wavelet Representations , 6.1 中有解释。简介，缩放函数及其属性，第 191 页。最后，缩放函数的频谱由下式给出：

$$\Phi^{(\infty)}(\omega)= \prod_{k=1}^\infty \frac {1} {\sqrt 2} H\left( \frac {\omega} {2^k}\right) \Phi^{(\infty)}(0)$$ 其中迭代的半截止频率很明显。带走的信息是：缩放函数的频谱与低通滤波器的频谱有关。同理，小波函数的频谱与高通滤波器的频谱有关。更多的指针在：

• 为什么将小波变换实现为滤波器组？
• 离散小波变换 (DWT) 滤波器组

限制是，如果您从连续小波开始，它们中的很少一部分可以忠实地实现为像滤波器那样的离散方案，并且那些滤波器，当它们存在时，看起来不像小波。因为他们也没有。它们与小波的相似之处只有在它们以不同的尺度在许多二元子采样中一遍又一遍地重复时才有意义。

并且大多数离散小波（如 Daubechies'）没有解析公式。但是，如果您从远处看底线，滤波器和小波在包络（下面的红线）和过零方面看起来很相似。所以全局形状并没有太大的不同，如下所示，适当缩放小波和滤波器：

这种相似性对于足够光滑的小波来说似乎很常见。老实说，我没有对此进行更详细的研究，因为滤波器和小波的实际相似性并不那么重要，它们的属性更令人感兴趣。