“傅立叶变换可以在频域定位信号,但不能在时域定位。” ——通俗地说是什么意思?

信息处理 信号分析 小波 傅立叶
2022-01-27 19:53:02

我正在研究小波的介绍及其在频域上的好处。我说过了:

傅立叶分析不能在时域和频域中定位信号。傅里叶分析可以很好地在频域中定位信号,但在时域中则不然。而小波具有在时域和频域中定位信号的优点。

这是什么意思?你能给我任何例子或链接来更好地解释这种情况吗?

4个回答

在傅里叶变换中,基函数是复指数。这些函数在频域中是完全局部化的,即它们存在于一个频率上,但由于它们的持续时间是无限的,它们没有时间局部化。函数的定位取决于它在时间和频率上的分布。复指数在频率上具有零扩展,但在时域具有无限扩展。因此,通过傅里叶变换分析的任何信号仅在频率上进行定位(例如,可以识别正弦分量的频率),而在时间上完全不定位(例如,不能对信号特性的时间变化进行定位)。

此处的定位意味着:找到信号最集中的位置,以及以何种精度。这可以在时域或频域中。答案可能是:信号的质心在 1.5 秒,正负 0.3 秒;其主频率为 100 Hz,正负 10 Hz。

这个公式的背后是不确定性原则:在时间和频率上都不能任意准确地定位。如果您只想要时间或频率精度,时间(信号)或频率(傅立叶)就可以了。但是随后您几乎失去了其他域中的所有精度(分别是频率或时间)。

小波减轻了这种影响,时间窗傅里叶,不知何故可以帮助你

FT 提供了足够的信息来完美地重建带限输入,包括所有内容的精确定位。但是关于局部行为的信息在 FT 阶段分布在无限范围的频域中。

然而,在实践中,FFT 分析是使用一个固定大小的窗口完成的,没有重建,并且只查看局部幅度,其中不包含关于是否在左侧、右侧或右侧发生脉冲(音调突发等)的足够信息FFT 孔径的中间(等)。

然而,小波分析更经常使用各种大小和基函数的重叠来完成。如果脉冲(窄带突发等)位于一个小波内的未知位置,则另一组较小的偏移小波可能仅在其中识别一个,从而更好地定位它。

也可以通过在每组不同重叠处使用一组不同大小的加窗 FFT 来做类似的事情,从而获得大致相同质量的定位信息,但计算成本可能比使用小波进行分析要高得多。

据我了解,这意味着,在使用傅里叶变换时,您可以计算出信号的频率,但无法计算出信号的具体时序。