信息处理 - Z 变换时移和微分属性是否始终兼容？ - 吾爱随笔录

我目前正在研究 Z 变换，准确地说，我在理解时移和微分属性方面遇到了问题：明确计算 Z 变换，并通过使用这些属性获得它会产生不同的结果。

例如，常见的 Z 变换是离散单位阶跃函数的变换： Z 变换状态的时移属性（暂时不考虑它对 ROC 的影响） , 因此它意味着：由于，微分属性，它表明

Z {u [n]} = \frac{1}{1 - z^{- 1}} = \frac{z}{z - 1}

$\mathcal{Z}\left\{ u\left[n\right]\right\} =\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$

Z {x [n - k]} = z^{- k} Z {x [n]} \forall k \in Z

$\mathcal{Z}\left\{ x\left[n-k\right]\right\} =z^{-k}\mathcal{Z}\left\{ x\left[n\right]\right\} \quad\forall k\in\mathbb{Z}$

Z {u [n - 1]} = z^{- 1} \frac{z}{z - 1} = \frac{1}{z - 1}

$\mathcal{Z}\left\{ u\left[n-1\right]\right\} =z^{-1}\frac{z}{z-1}=\frac{1}{z-1}$

\frac{d}{d z} \frac{1}{z - 1} = \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}

$\frac{d}{dz}\frac{1}{z-1}=\frac{1}{\left(z-1\right)^{2}}$

Z {n x [n]} = - z \frac{d Z {x [n]}}{d z}

$\mathcal{Z}\left\{ n\, x\left[n\right]\right\} =-z\frac{d\mathcal{Z}\left\{ x\left[n\right]\right\} }{dz}$ 给出：这似乎是错误的，因为正确的结果应该是：我做错了什么是否存在无法应用这些属性的情况？

Z {n u [n - 1]} = - z \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} = - \frac{z^{- 1}}{{(1 - z^{- 1})}^{2}}

$\mathcal{Z}\left\{ n\, u\left[n-1\right]\right\} =-z\frac{1}{\left(z-1\right)^{2}}=-\frac{z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)^{2}}$

Z {n u [n]} = \frac{z^{- 1}}{{(1 - z^{- 1})}^{2}}

$\mathcal{Z}\left\{ n\, u\left[n\right]\right\} =\frac{z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)^{2}}$