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如何将这个简单的拉普拉斯方程转换为 Z 域？

信息处理过滤器 z变换拉普拉斯变换

2022-01-26 18:41:03

DSP 相关 - JULIUS O. SMITH III - 物理音频信号处理 - 用于虚拟乐器和音频效果 - 两个耦合字符串中提供了耦合弦的基本模型（例如钢琴）：

原理是它有两个相同的字符串模拟，每个模拟由延迟线和 LPF 组成。这些输出在中心的“桥”处相加。总和乘以得到电桥输出，然后从每个弦乐循环中减去该输出，以模拟因电桥能量损失而产生的阻尼。 $-H_b(s)$

电桥方程为：

V_{b} (s) = H_{b} (s) (V_{1}^{+} (s) + V_{2}^{+} (s))

$V_b(s) = H_b(s) \big( V_1^+(s) + V_2^+(s) \big)$

H_{b} (s) ≜ \frac{2}{2 + R_{b} (s) / R}

$H_b(s) \triangleq \frac{2}{2+ R_b(s)/R}$

其中 $R_b(s)$ 是电桥的阻抗， $R$ 是串的阻抗。

因此，为了实现这一点，我需要将 $H_b(s)$ （和/或 $V_b(s)$ ）从拉普拉斯方程转换为 Z 域方程。

我开始了解拉普拉斯和 Z 域的一些原理，但我以前从未转换过任何东西，我不知道如何做到这一点。我如何获得这种用法的 $H_b(z)$ ？

一旦我有了 $H_b(z)$ ，我是否只需将它乘以两个字符串输出的总和，然后从字符串循环中减去该结果？

另外，为什么串的阻抗只是 $R$ 而电桥的阻抗是 $R_b(s)$ ？电桥的阻抗是拉普拉斯函数，暗示其阻抗可能随频率变化吗？（而串阻抗将与频率无关。）如果是这样，如何简化将电桥阻抗也视为频率无关的事情？

2个回答

迈克，我相信您的问题的答案很可能是Bilinear Transform。确保您确定了重要频率（可能是 LPF1 和 LPF2 或的谐振频率，并对该频率应用预变形，以便数字滤波器与模拟滤波器在同一位置命中。记住两条延迟线是和。或者，在 s 域中和，其中是采样周期或倒数采样率。 $H_b(s)$ $z^{-N_1}$ $z^{-N_2}$ $e^{-N_1sT}$ $e^{-N_2sT}$ $T$

答案是根本不需要包含采样率。由于我使用的是 Hb(s) 为常数的简单情况，因此我只需将其与求和的样本相乘，然后从两条延迟线中减去结果。它的工作原理与采样率无关。我尝试了 11 kHz 和 96 kHz 的采样，听起来一样。

我真的不明白为什么。我会想如果我从循环中减去每个样本的总和的百分比，那么我会在更高的采样率下更频繁地减去它，从而更快地阻尼循环，但它似乎并没有以这种方式工作。在这种简单的情况下，它以某种方式完全独立于采样率。

无论如何感谢所有的答案。我学到了很多关于拉普拉斯等的知识，无论如何我都需要知道。它仍然具有教育意义。

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