信息处理 - 做因( b t ) ⋅ u ( t )cos⁡(bt)⋅u(t)有傅里叶变换吗？ - 吾爱随笔录

做因( b t ) ⋅ u ( t )cos⁡(bt)⋅u(t)有傅里叶变换吗？

信息处理傅里叶变换连续信号在家工作

2022-01-25 04:30:07

如果是这样，

\int_{- \infty}^{\infty} \cos (b t) u (t) e^{- j ω t} d t = \int_{0}^{\infty} \cos (b t) e^{- j ω t} d t = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{j b t} + e^{- j b t}}{2} e^{- j ω t} d t

$\int_{-\infty}^{\infty} \cos(bt)\,u(t)e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} \cos(bt)\,e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{jbt} + e^{-jbt}}{2}\,e^{-j\omega t} dt$

那么我们如何从这一点进行下去呢？

\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} [e^{j (b - ω) t} + e^{- j (b + ω) t}] d t

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \left[e^{j(b-\omega )t} + e^{-j(b+\omega )t}\right]dt$

谢谢你。

1个回答

积分不会在传统意义上收敛，因此您无法使用标准方法解决它。假设你知道（或可以查到）单位阶跃函数的傅里叶变换 $u(t)$ , 计算傅里叶变换很简单 $\cos(\omega_0t)\,u(t)$ 使用调制属性：

\begin{matrix} (1) & F {u (t)} = U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \end{matrix}

$\mathcal{F}\big\{u(t)\big\}=U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\tag{1}$

\begin{aligned} F {\cos (ω_{0} t) u (t)} & = \frac{1}{2} [U (ω - ω_{0}) + U (ω + ω_{0})] \\ (2) & = \frac{π}{2} [δ (ω - ω_{0}) + δ (ω + ω_{0})] + \frac{1}{j} \frac{ω}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align}\mathcal{F}\big\{\cos(\omega_0t)\,u(t)\big\}&=\frac12\big[U(\omega-\omega_0)+U(\omega+\omega_0)\big]\\&=\frac{\pi}{2}\big[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\big]+\frac{1}{j}\frac{\omega}{\omega^2-\omega_0^2}\tag{2}\end{align}$

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