有不同的方法来计算请求的自相关，但我想提供最简单的方法来满足你的情况。

• 差分方程是表示 LTI 系统的 LCCDE 类型。
• 系统的输入$v[n]$是 WSS（广义平稳）随机过程。

我假设在您的问题中都可以观察到这两者。然后，我将使用由（实际）WSS 输入驱动的（实际）LTI 系统的输入和输出自相关之间的以下众所周知的关系$v[n]$：

$$r_{dd}[k] = h[k] \star h[-k] \star r_{vv}[k]$$

WSS的自相关$v[n]$是$r_{vv}[k] = \sigma_v^2 \delta[k] = \delta[k]$对于不相关的、零均值的单位方差过程。和$h[n]$是由 LCCDE 表示的 LTI 系统的脉冲响应。

然后是 WSS 输出的自相关序列$d[n]$是

$$r_{dd}[k] = h[k] \star h[-k] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]h[-(k-m)]~~~,~~~\text{ for } k = 0,\pm 1, \pm 2,...$$

所以假设你的 LCCDE ：

$$d[n] - \alpha ~d[n-1] = v[n] ~~~, ~~~\text{ with } |\alpha| < 1$$

表示因果 LTI 系统，则其脉冲响应为：

$$h[n] = (-\alpha)^n u[n]$$

并产生自相关为：

$$r_{dd}[k] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} (-\alpha)^m u[m] (-\alpha)^{m-k} u[m-k]~~~,~~~\text{ for } k = 0,\pm 1, \pm 2,...$$

我希望你能继续剩下的。

我会通过尝试表达来解决这个问题$d(n)$不同，因为差分方程可能会令人困惑。请注意：

$$\begin{align} d(n) &= \alpha d(n-1) + v(n) \\ &= \alpha^2 d(n-2) +\alpha v(n-1) +v(n) \\ &=\alpha^3 d(n-3) + \alpha^2 v(n-2)+\alpha v(n-1) +v(n) \\ &=... \end{align}$$

你可以从你可以表达的模式中看到$d(n)$作为总结：

$$d(n) =\alpha^nd(0)+\sum_{i=0}^{n-1}\alpha^iv(n-i)$$

我假设过程开始于$n=0$. 为简单起见，让我采取$d(0)=0$这样我们就不必在整个计算过程中携带该常数。

然后我们剩下：

$$\mathbb{E}[d(n)d(n+k)] = \mathbb{E}\left[ \left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha^iv(n-i) \right) \left(\sum_{i=0}^{n+k-1}\alpha^iv(n+k-i) \right)\right]$$

知道噪声与零均值不相关，这个表达式可以真正简化。

请注意，表达式取决于$n$因为这个过程不是 WSS（因为我假设它开始于$n=0$，即它从一开始就没有运行过）。