重要的是要认识到，通常仅微分方程 (DE) 并不能告诉我们任何有关因果关系的信息。您声称问题中给出的系统是因果关系。然而，具有脉冲响应的反因果系统$h(t)=-u(-t)$（在哪里$u(t)$是阶跃函数）也满足同样的DE！所以给定的 DE 实际上描述了两个系统，一个因果系统和一个反因果系统。

您需要强制因果关系（以及线性和时不变性）是系统最初处于静止状态的辅助条件。“最初”是指输入信号变为非零的时刻。如果我们用$t_0$, 这些条件是

$$y(t_0)=y'(t_0)=y''(t_0)=\ldots =0\tag{1}$$

其中表示输出信号的一阶导数等。用初始静止条件求解的 DE 可以得到 DE 描述的因果系统的输出信号。$y'(t)$$(1)$$t>t_0$

当使用拉普拉斯变换计算 LTI 系统的传递函数时，类似的情况也是如此。传递函数的拉普拉斯变换表达式并不唯一地标识相应的系统。您还必须指定收敛区域 (ROC)。在您的示例中，系统的传递函数是

$$H(s)=\frac{1}{s}\tag{2}$$

根据 ROC，此函数对应于两个不同的时域函数：

$$h(t)=u(t),\quad \text{Re}(s)>0$$ 且 $$h(t)=-u(-t),\quad \text{Re}(s)<0$$

您需要选择对您的情况有意义的解决方案。

单靠微分方程无法判断被建模的系统是因果系统还是反因果系统。因果关系是施加在系统上的外部约束，它将指导您完成求解过程。即，如果您以某种方式（通过其他方式）知道系统是因果关系，那么您将所有的解决方案限制为零。$t<0$

否则，（如果您不知道您的系统是否是因果关系），LCCDE（线性常数系数微分方程）本身无法告诉您这一点以及从延伸到和另一个的两种解决方案从到将是给定 LCCDE 的有效解。$t=0$$t=\infty$$t=0$$t=-\infty$

但是请注意，以下系统：立即被认为是非因果的，因为输出取决于未来时间的输入值。$y(t)' = x(t+2)$