信息处理 - 何时使用傅立叶、拉普拉斯和 Z 变换？ - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换 z变换拉普拉斯变换

2022-02-11 08:16:38

如果我们有一个 LTI 系统，输入信号 $x(t)$ ，脉冲响应 $h(t)$ 和输出 $y(t)$ ，我假设如果输入和脉冲响应在时间上是连续的，那么你会使用 $x(t)$ 上的 FT和 $h(t)$ 上的拉普拉斯变换，并将它们相乘以在频域中找到输出 $Y(f)$

同样，如果 $x[n]$ 是离散输入信号， $h[n]$ 是离散脉冲响应， $y[n]$ 是离散输出，那么我虽然我们会在 $x[n]$ $h[n]$ 上使用z 变换，然后将它们相乘得到 $Y(k)$ ，它是频域中的离散输出。

但是我看到有人说我们会在脉冲响应上使用傅里叶变换来获得这里的传递函数，所以这有点让我失望。有人可以澄清一下吗？

1个回答

这是将变换应用于卷积关系的自然结果。（连续时间）LTI 系统的输出由卷积积分描述： $y(t)$

y (t) = h (t) ⋆ x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = h(t)\star x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

当你对这个关系应用傅里叶变换时，它变成了变换域中的乘法，例如：

Y (j ω) = F {y (t)} = F {h (t) ⋆ x (t)}

$Y(j\omega) = \mathscr{F}\{ y(t) \} = \mathscr{F}\{ h(t) \star x(t) \}$

Y (j ω) = F {h (t)} \cdot F {x (t)} = H (j ω) \cdot X (j ω)

$Y(j\omega) = \mathscr{F}\{ h(t) \} \cdot \mathscr{F}\{ x(t) \} = H(j\omega)\cdot X(j\omega)$

同样，您也可以对其应用拉普拉斯变换：

Y (s) = L {y (t)} = L {h (t) ⋆ x (t)}

$Y(s) = \mathscr{L}\{ y(t) \} = \mathscr{L}\{ h(t) \star x(t) \}$

Y (s) = L {h (t)} \cdot L {x (t)} = H (s) \cdot X (s)

$Y(s) = \mathscr{L}\{ h(t) \} \cdot \mathscr{L}\{ x(t) \} = H(s)\cdot X(s)$

对于离散时间 LTI 系统，情况完全相同。

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