信息处理 - 对奈奎斯特采样定理和最小采样率的误解 - 吾爱随笔录

对奈奎斯特采样定理和最小采样率的误解

信息处理采样自由度奈奎斯特时频时域

2022-02-14 15:41:42

的时间样本之间的距离对我的时域 (TD) 信号进行采样，其中是采样的数量。采样率为。我已经阅读了 10 篇关于 DFT 的讲座，但似乎我仍然不了解基础知识。 $\delta = (t_{max} - t_{min}) / N_t$ $N_t$ $1 / \delta$

我知道采样定理：如果信号的带宽限制为，也就是说，对于不在区间，它的 FT 为 0 ，则可以从其离散样本中完美地重建信号以或更高的速率获取。 $f_c$ $f$ $[- f_c, ..., f_c]$ $\delta = 1 / (2 * f_c)$

我也知道奈奎斯特标准：我需要以至少两倍于信号中存在的最大频率值的速率对我的时域信号进行采样。那将是。 $1/\delta > 2 * f_{max}$

根据我对此处接受的答案的理解：Discrete Inverse Fourier transform，似乎我需要以的速率进行采样，其中是信号中存在的最高频率。 $1/\delta > f_{max}$ $f_{max}$

我所缺少的，上述两个事实对我来说似乎不同，相差 2 倍。

从这些注释的第 2 页开始，似乎上述 DSP 答案的条件与 TD->FD 采样定理和 FD->TD 采样定理一致。https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-341-discrete-time-signal-processing-fall-2005/lecture-notes/lec15.pdf。第 2 页显示的图表的第二张图片在视觉上对我来说很有意义：为了避免折回第一奈奎斯特区，假设任何三角形的底边长度为，然后 (中心三角形的 RHS) + (中心三角形右侧第一个三角形的 LHS) < $\Omega_0$ $\Omega_0 / 2$ $\Omega_0 / 2$ $2\pi / (\Delta T)$ （中心三角形右侧的第一个三角形的中心）。

我的问题可能更笼统：

的输入一维向量时，如果我们认为我具有无限的计算能力（假设），我应该寻找什么？我是否只需要确保采样率是信号带宽的两倍，其中带宽为？即只尊重奈奎斯特标准？ $N_t$ $f_{max} - f_{min}$

2个回答

如果信号是复数，则考虑从扩展的离散傅里叶变换 (DFT) 的 bin，因为在这种情况下离散傅里叶变换将是唯一的从 bin到 bin。如果信号是实数，那么 DFT 将是 Hermitian 对称的，因此我们可能只考虑 bin到，因为 bin到将是 bin的复共轭到。例如，对于个奇数和一个实数信号， , $1/\delta > f_{max}$ $k=0 \ldots N-1$ $0$ $N-1$ $0$ $(N-1)/2$ $(N-1)/2$ $N-1$ $1$ $(N-1/2)$ $N$ $k_1 = k^*_{N-1}$ $k_2 = k^*_{N-2}$ 等。这可能会导致人们声明在这种情况下小于。 $f_{max}$ $(N-1)/2$

一般来说，奈奎斯特采样定理是以大于的采样率对从到的复基带信号进行采样。当您考虑 DFT 箱可以同样表示从 DC 到（几乎）采样率的信号（因为对于从到个箱，箱将表示采样率）或等效地（几乎） to以上与奈奎斯特采样定理不冲突。 $-B/2$ $+B/2$ $B$ $f_s$ $N$ $k$ $0$ $N-1$ $N$ $f_s$ $-f_s/2$ $+f_s/2$

请注意，您对奈奎斯特采样定理的陈述仅适用于无限长度的信号。如果 N 是有限的，那么您需要在一定数量的最高频谱频率的两倍以上进行采样。

那是因为任何有限长度的窗口在频域都有无限的支持。与任何有限长度重建或抗混叠滤波器相同。因此，有限长度的采样导致的窗口化将扩展您的信号频谱。超出您假定的频带限制的边缘。

因此，您必须以窗口的阻带能量低于所需本底噪声的频率的 2 倍或以上的频率进行采样。即使对有限长度的样本进行“完美”重建，它也永远不会为零（除非假设完美周期性地扩展到已知宇宙的生命周期之外。）

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