信息处理 - 这个系统是 LTI 吗？ - 吾爱随笔录

这个系统是 LTI 吗？

信息处理线性系统 z变换

2022-02-22 20:31:05

假设系统是 LTI（并且具有关联的变换），那么整个系统是否低于 LTI？ $h[n]$ $H(z)$

我找到了系统的脉冲响应，我得到它是其中是当。

h_{0} [n] = α^{- n} \cdot h [n]

$h_{0}[n]=\alpha ^{-n}\cdot h[n]$

h_{0} [n]

$h_{0}[n]$

y [n]

$y[n]$

x [n] = δ [n]

$x[n]=\delta [n]$

这并没有给我们太多信息，所以我想用输入信号为复指数（即）来测试系统。因为复指数是 LTI 系统的特征函数，如果输出不是像那么系统就不是 LTI。 $x[n]=a^{n}$ $y[n]=z^{n}\cdot H(z)$

但是，的输出结果是 $x[n]=a^{n}$

y [n] = a^{n} \cdot H (a \cdot α)

$y[n]=a^{n}\cdot H(a\cdot \alpha)$

因此，显然，复指数是整个系统的特征函数。另外，我认为。是对的吗？ $H_{0}(z)=H(z\cdot \alpha)$

这足以确认整个系统是LTI 吗？或者它只是证明它可能是 LTI？

感谢您的时间！

1个回答

您是对的，除非系统是 LTI，否则确定对脉冲的响应通常不会导致对系统行为的任何有用描述。您使用特征函数的推理是正确的。但是，我将按如下方式处理该问题。如果（且仅当）输入/输出关系可以表述为输入信号与独立于输入信号（脉冲响应）的序列的卷积，则系统是 LTI。这确实是可能的：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} y [n] & = α^{- n} \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k] α^{k} h [n - k] \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k] α^{- (n - k)} h [n - k] \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k] \tilde{h} [n - k] \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}y[n]&=\alpha^{-n}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\alpha^kh[n-k]\\&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\alpha^{-(n-k)}h[n-k]\\&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\tilde{h}[n-k]\end{align}\tag{1}$

其中是整个系统的脉冲响应，正如您自己已经发现的那样。 $\tilde{h}[n]=\alpha^{-n}h[n]$

的 -变换确实很容易用表示： $\mathcal{Z}$ $\tilde{h}[n]$ $H(z)$

\tilde{H} (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \tilde{h} [n] z^{- n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} h [n] α^{- n} z^{- n} = H (α z)

$\tilde{H}(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\tilde{h}[n]z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]\alpha^{-n}z^{-n}=H(\alpha z)$

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