信息处理 - 如何推导出模拟和数字系统的稳定性 - 吾爱随笔录

如何推导出模拟和数字系统的稳定性

信息处理离散信号连续信号 z变换

2022-02-02 22:33:12

我试图找出为什么数字系统是稳定的当且仅当极点哦，它们的传递函数在单位圆内（或者还有其他条件吗？）。

我理解类似系统是稳定的，如果它们的传递函数的所有极点都是负的，因为拉普拉斯逆变换，其中。（通过我的意思是 heaviside 函数）。是对的吗？ $\mathcal{L}^{-1} \left \{ \frac {1}{s+a} \right \} = e^{-at} \cdot \mathcal{1} (t)$ $\mathcal{1} (t)$

但是如何推导离散系统稳定的条件呢？

还有哪些其他方法可以导出离散和连续系统的稳定性？

1个回答

在离散时间的情况下，您可以使用 -transform： $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (1) & Z {x (n)} = X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} x (n) z^{- n} \end{matrix}

$\mathcal{Z}\{x(n)\}=X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}\tag{1}$

等式 (1) 是单边时为零的因果信号很有用。现在考虑信号 ,： $\mathcal{Z}$ $n<0$ $x(n)=a^n$ $n\ge 0$

X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} z^{- n}

$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{-n}$

该级数收敛于，在这种情况下，由下式给出： $|a|<1$ $X(z)$

\begin{matrix} (2) & X (z) = \frac{1}{1 - a z^{- 1}} = \frac{z}{z - a} \end{matrix}

$X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a}\tag{2}$

从 (2) 可以看出是的极点，并且对于是稳定的（如果被视为系统的脉冲响应），并且对于存在，必须成立，即极点必须在复平面的单位圆内。此示例类似于您问题中的连续时间示例。 $a$ $X(z)$ $x(n)$ $X(z)$ $|a|<1$ $z$

还要看一下BIBO 稳定性平面的严格左半部分，对于离散时间信号/系统，极点必须严格位于平面的单位圆内。时域信号的条件是它们在连续情况下绝对可积，在离散时间情况下绝对可和： $s$ $z$

\int_{- \infty}^{\infty} | x (t) | d t < \infty \sum_{n = - \infty}^{\infty} | x (n) | < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt <\infty\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)| <\infty$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇激光二极管比特率数据表下一篇4x4 棋盘矩阵的 DCT - 正确的结果是什么？