尽管您可以使用其他方法（例如频域方法）来解决此问题，但您也可以遵循以下直接时域路径。给定脉冲响应$h(t) = e^{-t} u(t)$一个 LTI 系统和施加的激励输入$x(t) = \cos(2\pi t)$（从无限延伸$t=-\infty$到$t=\infty$)，输出可以写成卷积积分：

$$y(t) = x(t)\star h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) x(\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(t-\tau)}u(t-\tau) \cos(2\pi \tau)d\tau$$

$$y(t) = e^{-t} \int_{-\infty}^{t} e^{\tau} \cos(2\pi \tau)d\tau$$

在这一点上，我们必须评估可以在大多数微积分课本或积分表中找到的积分。我将使用 MATLAB 对其进行评估，结果是

$$\boxed{ y(t) = \frac{\cos(2\pi t) }{1 + 4\pi^2} + \frac{2\pi \sin(2\pi t) }{1 + 4\pi^2} }$$

您可以使用简化结果$a\cos(wt) + b\sin(wt) = \sqrt{a^2+b^2} \cos(wt - \tan^{-1}(b/a) )$进入

$$\boxed{ y(t) = \frac{1 }{\sqrt{1 + 4\pi^2}} \cos(2\pi t)}$$

作为解决方案。该解决方案没有瞬态部分，因为输入是从开始应用的$t=-\infty$.