即使 j 是否存在傅里叶变换ωω轴不在拉普拉斯变换中的收敛区域

信息处理 信号分析 傅里叶变换 连续信号 拉普拉斯变换 稳定
2022-02-23 02:32:27

发生了一些混乱。我正在考虑的信号是f(t) = sin(t)*u(t)

  1. 可以推导出它的傅里叶变换。 −iπ(δ(ω−1)−δ(ω+1))

  2. 根据我的数学代码，LaplaceTransformation 的 ROC 没有 jω轴在它的收敛区域。（Re{s}>0）

所以不稳定。（有道理。sin(t) 不是绝对可总结的） https://www.wolframcloud.com/objects/ramithuh/Published/misc_sin_laplace.nb

  1. 因此，即使 jω 轴不在拉普拉斯变换的收敛区域中？

当我考虑f(t) = sin(t)时，情况变得更糟。它的拉普拉斯变换积分没有收敛。因此，分别考虑sin(t)*u(t)和 s in(t)*u(-t)，我得到了两个没有重叠的不同 ROC。Re{s} > 0和Re{s} < 0。所以这意味着 Sin(t) 的拉普拉斯变换不存在吗？最初我认为拉普拉斯变换可以覆盖 FourierTransform 覆盖的所有信号。原来不是这样？

请指出我推理的哪一步是错误的......

非常感谢！:)

更新：感谢您指出我的错误。:D F(sin(t)∗u(t))=−12iπδ(ω−1)+12iπδ(ω+1)−12(ω−1)+12(ω+1)

1个回答

没错，拉普拉斯变换并不比傅里叶变换更通用。他们只是不同。有几个（理论上）重要的函数不存在拉普拉斯变换，但傅里叶变换存在。几个例子是

  1. x(t)=ejω0t
  2. x(t)=sin⁡(ω0t+ϕ)
  3. x(t)=sinc(ω0t)
  4. x(t)=1πt
  5. x(t)=sign(t)

前两个在他们的傅里叶变换中涉及狄拉克脉冲，而第三个和第四个有不连续的傅里叶变换。我希望很明显为什么复指数和正弦很重要。这sinc需要函数来表示理想频率选择滤波器的脉冲响应，例如低通和高通滤波器，以及1/(πt)是理想希尔伯特变换器的脉冲响应。请注意，这些函数是非因果的（即，它们不为零t<0）。存在（双边）拉普拉斯变换的非因果函数类非常有限，因为通过与est仅适用于t>0（如果Re{s}<0) 或为t<0（如果Re{s}>0)，但不是两者都适用。

在你的第一个例子中（sin⁡(t)u(t)) 你弄错了傅里叶变换，即使它确实包含狄拉克脉冲。只要拉普拉斯变换（如果存在）在虚轴上有极点，傅里叶变换就有狄拉克脉冲。

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