信息处理 - Z变换收敛 - 吾爱随笔录

Z变换收敛

信息处理 z变换

2022-01-29 06:46:03

从定义我知道：

| \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \cdot z^{- n} | < \infty (1)

$|\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n] \cdot z^{-n}| < \infty\space\space\space(1)$

有没有不能写成的 x[n ]序列

x [n] = y [n] \cdot u [a n - b], a, b \in Z

$x[n] = y[n] \cdot u[an-b]\space,\space\space\space a,b \in \mathbb{Z}$ （其中点表示乘法，表示离散阶跃函数。换句话说，x[n] 是一个无穷大序列）

u [k]

$u[k]$

但是否满足（1）中的定义？

3个回答

答案肯定是肯定的。从您的问题来看，您似乎认为第一个方程只能满足对于某些有限（正或负）或消失的序列，即对于因果或反因果序列的移位版本。首先请注意 - 正如在 nidhin 的回答中已经指出的那样 - 你的第一个方程只有在你添加“for inside of the region of convergence (ROC)”时才有意义。对于两侧序列，ROC 是一个环，因此。在 ROC 之外， -变换具有孤立的奇异点，它们是传递函数的极点（对于）。 $n>N$ $n<N$ $N$ $z$ $r_1<|z|<r_2$ $\mathcal{Z}$ $X(z)\rightarrow\infty$

作为一个反例，即不能按照您的问题中的建议编写的序列，但 -transform，请考虑序列 $\mathcal{Z}$

x [n] = {\begin{cases} \frac{a^{n + 1}}{a - b}, & n \geq 0 \\ \frac{b^{n + 1}}{a - b}, & n < 0 \end{cases}

$x[n]=\begin{cases}\frac{a^{n+1}}{a-b},&n\ge 0\\ \frac{b^{n+1}}{a-b},&n<0\end{cases}$

0. 请注意，这是一个双向序列，既不是因果也不是反因果，并且都满足。它的变换由下式给出 $0<|a|<1<|b|$ $x[n]\neq 0$ $n$ $\mathcal{Z}$

X (z) = \frac{z^{2}}{(z - a) (z - b)}

$X(z)=\frac{z^2}{(z-a)(z-b)}$

其收敛区域为. $|a|<|z|<|b|$

没有。对于无限序列，Z 变换的收敛性也取决于的值。因此，就的所有值，等式 (1) 将不满足。 $z$ $n\rightarrow\pm\infty$ $z$

考虑一个简单的情况， for , 让这个序列收敛， . $x(n) = u(n)$

X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}$

X (z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \dots

$X(z) = 1 + z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+ \cdots$

z = 0.5

$z=0.5$

X (z) = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots = \infty

$X(z) = 1 + 2+4+8+ \cdots = \infty$

| z | > 1

$|z|>1$

正如nidhin 和MattL 的回答所指出的那样，必须将存在变换的要求限制在收敛区域。但是，应该注意的是，这个区域可以任意变大，具有以下功能： $\mathcal{Z}$

\begin{aligned} x [n] & = c^{- n^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] &= c^{-n^2} \end{align}$ 对于任何实常数满足。

c

$c$

| c | < 1

$|c|<1$

变换的收敛区域是，因此您的帖子中的定义 (1) 得到满足（几乎无处不在）。然而，这个序列对于所有都是严格正的，因此不能以提供的形式表示。所以，简而言之，确实存在这样的序列。 $\mathcal{Z}$ $|z|<\infty$ $n$

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