在目前的表述中，这个问题的答案是“不”，这是不可能的。原因是对于任何，我可以使足够小，使得线性近似的误差变得任意大。请注意。$t>0$$t$$\lim_{t\to 0}\log(t)=-\infty$

$t$定义一个正下限，以便能够在区间$t\in[a,b]$ , $0<a<b$上得出合理的近似值。很容易找到线性函数$f(t)=c_1t+c_2$$g(t)=\log(t)$在该区间上的最佳最小二乘拟合。您必须自己判断这样的近似值是否足以满足您的应用程序。

如果作为一个例子，你考虑区间$t\in[0.01,0.5]$你可能会得到这样的结果：

或等凹函数可以模拟饱和等非线性系统行为。它们虽然被用作压扩方法，例如 -law（或A-law）：$\sqrt{\cdot}$$\log{(1+\cdot)}$$\mu$

这可以在高动态信号的量化之前使用，并允许使用均匀量化并为弱信号和强信号保持相似数量的相对误差（参见例如使用对数算术进行数字滤波（我很高兴发现尼克金斯伯里的这项工作）。

对于电话，人们开发了此类定律的分段（“分段线性”，但实际上是分段仿射）压缩扩展版本，例如 H. Kaneko，“分段压缩定律的统一公式以及编解码器和数字压缩器的合成”。基本上，可以通过一些仿射定律在其适当的区间内进行近似。我知道平方根的这种近似值：如果，那么例如大约 4% 的精度：$\log(x+y)$$a\ge b$

但我必须检查对数。在同一框架中，正如@ben 已经说过的，如果是固定数量：$a$

• 如果，则$a>b$$\log(a+b)\sim b/a+\log a$

这是一个仿射近似。

$\ln(1+x) \approx x$对于 x 的小。$x$

因此，您应该尝试进行变量替换以将您的方程映射到类似于的形式。$\ln(t)$$\ln(1+x)$

真的接近，这将不起作用，你能猜到为什么吗？$t$$0$