信息处理 - 由线性常数系数微分方程描述的系统的因果关系、线性和时间不变性 - 吾爱随笔录

我目前正在使用 Alan Oppenheim 的 Signals and Systems 作为了解 LTI 系统的参考。

在介绍由线性常系数微分方程表示的系统之前，作者首先考虑以下形式的一般系统 $x(t) \rightarrow y(t)$ . 在讨论系统的线性时，他介绍了线性系统的“零进零出”特性（不一定是时不变的或因果的），即给定一个线性系统，如果输入 $x(t)$ 全部为零 $t$ ，然后输出 $y(t)$ 所有人都必须为零 $t$ . 此外，一个线性系统是因果的当且仅当 $y(t) = 0$ 对所有人 $t < t_0$ 如果 $x(t) = 0$ 对所有人 $t < t_0$ ，一个称为初始静止的条件，我从中得出结论，线性系统的初始静止意味着因果关系而不是时间不变性。

现在给出一个线性常系数微分方程

L y (t) = x (t),

$Ly(t) = x(t),$ 在哪里

L

$L$ 是一个常数系数的线性微分算子，作者强调虽然微分方程是线性的，但它所代表的系统可能是线性的，也可能不是线性的，这取决于初始条件。我觉得这很混乱，因为给定两个输入输出对

x_{1} (t) \to y_{1} (t)

$x_1(t) \rightarrow y_1(t)$ 和

x_{2} (t) \to y_{2} (t)

$x_2(t) \rightarrow y_2(t)$ ，我们有

L (a y_{1} (t) + b y_{2} (t)) = a x_{1} (t) + b x_{2} (t)

$L(ay_1(t) + by_2(t)) = ax_1(t) + bx_2(t)$ 对于任何常数

a, b \in C

$a, b \in \mathbb C$ 凭借算子的线性度

L

$L$ . 看起来

a x_{1} (t) + b x_{2} (t) \to a y_{1} (t) + b y_{2} (t)

$ax_1(t) + bx_2(t) \rightarrow ay_1(t) + by_2(t)$ 不管初始条件如何，为什么在这种情况下系统不一定是线性的？我在这里想念什么？

此外，作者指出，要使系统成为线性系统，其初始条件必须为零，而要使其成为线性系统之外的因果和时间不变性，其初始条件必须服从初始静止。但是，一般来说，初始休息不是因果关系所需要的条件，而不是时间不变性吗？此外，这是否意味着如果输入在某个时间之前为零，则微分方程只能表示因果系统？给定一个始终非零的输入，我们如何通过对应于初始静止的初始条件来施加因果关系？我希望我的问题是有道理的。先感谢您。