这个问题是在我们的一个测验中提出的。问题是

确定系统是否具有给定的输入-输出关系

$y (t) = \int_{t - 10}^{t} \cos (τ) x (τ) d τ$ $y(t) = \int_{t-10}^{t} \cos(\tau)x(\tau)d\tau$

是线性且时不变的。

我能够证明线性，但无法证明系统的时间不变性。

我的尝试

为了不变性，我们需要显示 x(t-t_o) 的输出结果与相同。设现在，当我将变量更改为，它导致我卡住了（使用身份似乎效果不佳）并且无法继续进行。 $x(t-t_o)$ $y(t-t_o)$

y_{1} (t) = \int_{t - 10}^{t} \cos (τ) x (τ - t_{o}) d τ .

$y_1(t) = \int^{t}_{t-10} \cos(\tau)x(\tau-t_o)d\tau.$

z = τ - t_{o}

$z=\tau - t_o$

d z = d τ

$dz = d\tau$

y_{1} (t) = \int_{t - 10 - t_{o}}^{t - t_{o}} \cos (z + t_{o}) x (z) d z

$y_1(t) = \int^{t-t_o}_{t-10-t_o} \cos(z+t_o)x(z)dz$

\cos (A + B)

$\cos(A+B)$

对于积分变为 $y(t-t_o)$

y_{2} (t - t_{o}) = \int_{t - 10 - t_{o}}^{t - t_{o}} \cos (τ) x (τ) d τ

$y_2(t-t_o) = \int^{t-t_o}_{t-10-t_o} \cos(\tau)x(\tau)d\tau$

从这里看来，时间变体系统。但是当时，它变得不随时间变化。但是系统不可能是时不变的和时变的。这就是我对这个问题的疑问，系统是时不变的还是时变的，以及为什么。 $t_o=2\pi n$