在拉普拉斯变换中，在线意味着您正在查看信号中包含的纯正弦曲线。这正是您在理解傅里叶分析时提到的。所以这意味着您正在查看时域术语：$s = 0 \pm j\omega$

$$e^{j\omega{t}}$$

这再次代表构成您的信号的纯正弦曲线。

然而，一旦你离开这条线并且有一些使得：$s$

$$s = \sigma \pm j\omega$$

您不仅在查看正弦曲线项，还在查看时域项： $e^{j\omega{t}}$

$$e^{\sigma{t}}e^{j\omega{t}}$$

域的左侧平面上意味着所以你正在考虑包含在信号中的正弦曲线现在有一个阻尼包络。如果为正，则极点将放置在右手平面上，随着时间的推移，信号将爆炸到无穷大。这就是为什么如果我们想要一个稳定的系统，我们希望极点远离右手平面。$s$$\sigma < 0$$\sigma$

要点是，在傅立叶分析中，您正在考虑构成信号的纯正弦曲线。使用拉普拉斯变换，您正在考虑附加该指数项的正弦曲线。对于稳定或振荡系统，您正在考虑阻尼正弦曲线( )、衰减指数( )、纯正弦曲线( ) ，以及组成信号的恒定幅度( ) 分量。$s = -\sigma \pm j\omega$$s = -\sigma$$s = \pm j\omega$$s = 0$

这就是傅里叶分析适用于识别频率内容和拉普拉斯变换适用于分析稳定性和性能参数的原因。

使用双边拉普拉斯变换，线性时不变 (LTI) 系统的传递函数由于输出信号是由输入信号和系统脉冲响应的卷积给出的$H(s)$

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-\tau)h(\tau)d\tau\tag{1}$$

使用输入信号和脉冲响应，我们得到特定输入信号，，$x(t)$$h(t)$$x(t)=e^{s_0t}$$s_0\in\mathbb{C}$

$$y(t)=e^{s_0t}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s_0\tau}h(\tau)d\tau=e^{s_0t}H(s_0)\tag{2}$$

根据处评估的传递函数（特征函数）形式的输入信号的复数乘法因子（特征值）。$(2)$$s=s_0$$x(t)=e^{s_0t}$

一般来说，我认为考虑对任意信号的拉普拉斯变换进行物理解释是没有帮助的。拉普拉斯变换是一种简化某些运算的工具，例如通过将卷积转换为乘法，将微分方程转换为代数方程。

给定一个具有输入信号、传递函数和输出的过程，重要的是要注意传递函数本身并不能告诉您有关输入信号的任何信息。传递函数告诉您的是输入和输出之间的关系（即过程将对任何输入做什么）。从这个意义上说， 传递函数与输入无关。

当您考虑传递函数的极点时，即特征多项式的根（尽管分母的名称非常花哨），它告诉您的是输出信号的特征。

简而言之，复极点的存在（并且它们总是以共轭对形式出现）通知您输出中存在振荡。复杂部分的幅度越大，振荡的幅度就越大。其他术语会告知您其他因素，例如阻尼频率。

只考虑复平面上的单位线 (x = 1)。对于这条线的任何一点，该频率处的增益是到所有零点的距离除以到所有极点的距离的倒数。所有这些东西的（正或负）角度的总和也在那个点给出了一个相位。

所以所有零点和极点的位置告诉你关于单位线的所有重要信息。而且，对于解析函数，单位线的行为（如果它收敛的足够多）决定了复杂曲面的其余部分，因此您可以将所有其余部分视为多余的东西（但可能是风景如画）。

另一种看法。如果你沿着单位线（x=1,y= 从 -inf 到 +inf）走，你头顶的 abs(H(s)) 表面的高度就是传递函数的傅里叶变换的幅度。