简短的回答是肯定的，如果您有函数的拉普拉斯或 Z 变换，则不需要傅立叶变换。

这是因为 CFT 是拉普拉斯变换的特例，而 DTFT 是 Z 变换的特例。傅里叶变换用于查找构成函数的复正弦曲线，而拉普拉斯变换用于查找构成函数的所有复指数。

知道了这一点，很容易从拉普拉斯变换推导出傅里叶变换。拉普拉斯变换定义为：

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s}f(t)\,dt\\ s = \alpha+j\omega$$

要从拉普拉斯变换中找到傅里叶变换，您只需对所有和。这仅评估沿虚轴的拉普拉斯变换，因为直接位于虚轴上的任何分量都是复正弦曲线。这给我们留下了： $\alpha = 0$$\omega$$t$

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega}f(t)\,dt\\ $$

这实际上是傅里叶变换。

DTFT 和 Z 变换之间也存在类似的关系。Z 变换定义为：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]Z^{-n}$$ 其中是复变量。为了找到离散世界中的所有复正弦曲线，我们必须约束落在单位圆上： $Z$$Z$ $$Z = e^{j\omega}$$

这给我们留下了

$$\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j\omega n}$$ 或离散时间傅里叶变换。

傅里叶变换存在的原因是因为有很多应用只需要函数的真实频率。如果只需要实际频率，则计算拉普拉斯域的其余部分是没有意义的。为什么做比必要的更多的工作？

有关更多信息，请查看 Wikipedia 文章https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform#Relationship_to_the_Z-transform 和https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform我也强烈推荐BP Lathi 的《线性系统和信号》教科书，以更深入地讨论拉普拉斯、Z 和傅里叶变换。

你最后一个问题的答案肯定是“不”。hotpaw2 在他的回答变换或拉普拉斯变换的数值计算没有等效的有效实现。$\mathcal{Z}$

但这不是唯一的原因。有些重要的函数（或序列）甚至不存在拉普拉斯变换或变换，而傅里叶变换却存在。例如，采用从延伸到的正弦曲线或复指数。这些函数（或序列）没有拉普拉斯变换或变换。其他重要的例子是理想频率选择滤波器的脉冲响应，例如低通或高通。它们可以用 sinc 函数表示，该函数只能使用傅里叶变换进行变换，但不能使用（双边）拉普拉斯变换或 - 在离散时间 - （双边）变换。$\mathcal{Z}$$-\infty$$\infty$$\mathcal{Z}$$\mathcal{Z}$

因此，即使形式上看起来傅里叶变换是拉普拉斯变换或变换的特例，但通常情况并非如此。原因之一是在傅里叶变换理论中加入了分布理论（即使用狄拉克增量脉冲），这使得计算像或。后者不可能使用（双边）拉普拉斯变换（或者，在离散时间，双边 -变换）。$\mathcal{Z}$$\sin(\omega_0t)$$e^{j\omega t}$$\mathcal{Z}$

当人们看到（双边）拉普拉斯变换和傅里叶变换的定义时

$$X_L(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt\\ X_F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\tag{1}$$

，这两个变换变得相同似乎很明显。然而，这通常是不正确的。这里的缺陷是替换没有考虑不正确积分的收敛性。根据，对于 ，拉普拉斯积分可能不会收敛，因此甚至可能不存在。轴时，替换才有效。 -transform 和 DTFT，一个完全类似的论点是正确的。在这种情况下，替换仅在 ROC 包含单位圆时才有效。$s=j\omega$$x(t)$$s=j\omega$$X_F(j\omega)$$j\omega$$\mathcal{Z}$$z=e^{j\omega}$

最后一段似乎暗示拉普拉斯变换和变换比傅里叶变换的各自版本更通用。然而，这也不是真的，正如上面已经提到的，因为有些函数（序列）只能通过傅里叶变换处理，而不能通过拉普拉斯变换（ -transform）处理。$\mathcal{Z}$$\mathcal{Z}$

另请查看以下相关问题的答案：answer 1 , answer 2 , answer 3。

DFT 和 IDFT 以 FFT 的形式具有计算效率高的实现。在一般情况下，这种效率不能被 LT 或 ZT 取代或最小化。