这是因为接近 0 使得成为一个连续函数。$\omega_o$$k\omega_o$

所以离散函数变成了连续函数。$X(jk\omega_o)$$X(j\omega)$

如果您考虑傅立叶级数展开，这是直观的，因为频谱的每个分量在频率上间隔 Hz，（或弧度/秒）。这些组件中的每一个都以的形式给出，其中是所有整数的集合。所以随着变大，变小，因此变小，随着接近无穷大，接近连续函数。$1/T$$\omega_o = 2\pi/T$$k\omega_o$$k$$T$$1/T$$\omega_o$$T$$k \omega_o$

傅里叶级数展开背后的概念是，在持续时间上定义的任何连续时间函数都可以分解为正弦曲线的总和，每个正弦曲线的基本周期为中有整数个周期，对于所有整数，波形可以一直重复，并且在所有边界处以相同的方式开始和结束。由于这个原因，不能存在其他频率分量，因此非零频谱是离散的。$T$$T$$T$$t= NT$$N$

上面给出的正弦和余弦傅里叶级数展开式使用指数频率表示法更加紧凑（一旦您了解是在复平面上逆时针旋转的相量，最终会更加直观速率弧度每秒）：$e^{j\Omega t}$$\Omega$

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\Omega_o t}$$ 其中

$e^{jn\Omega_o t} = \cos(n\Omega_o t) + j\sin(n\Omega_o t)$

$c_n = a_n - jb_n$

并且用于代替只是为了匹配我已经拥有的图（我在其中区分模拟域和数字域之间的弧度频率）。 $\Omega_o$$\omega_o$

扩展到无穷大时，这成为傅立叶变换给出的间距变为零，因此频谱变得连续。$T$$1/T$

观察这种效果的一种简单方法是在进行 FFT 之前简单地对时域波形进行零填充：当您添加更多零时，意味着变大，随着频谱接近连续函数，将在频率中插入越来越多的样本.$T$

在第一行，他们表明

$$Ta_k=X(jk\omega_0)\tag{1}$$

这就是他们在第二行中使用的，他们也使用

$$\frac{1}{T}=\frac{\omega_0}{2\pi}\tag{2}$$

注意总和

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0\tag{3}$$

是一个黎曼和，它收敛到傅里叶逆变换的积分：

$$\lim_{\omega_0\to 0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0=\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\tag{4}$$