我认为在时域中看待这一点很有启发性。对于 LTI 系统，输出与脉冲响应的卷积给出：$y(t)$$x(t)$$h(t)$

$$y(t)=(x\star h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-\tau)h(\tau)d\tau\tag{1}$$

从$(1)$, 回应$x_a(t)=x(t-a)$,$a\in\mathbb{R}$， 是（谁）给的$y(t-a)$：

$$\begin{align}(x_a\star h)(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(t-\tau)h(\tau)d\tau\\&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-a-\tau)h(\tau)d\tau\\&=y(t-a)\end{align}\tag{2}$$

这证明了时不变性。

然而，回应$x(at)$,$x\in\mathbb{R}$， 是

$$\int_{-\infty}^{\infty}x(a(t-\tau))h(\tau)d\tau\neq y(at)\tag{3}$$

因此，通常我们不能从响应中推断出$y(t)$到一个输入$x(t)$对时间尺度输入的响应$x(at)$.

在 LTI 系统中，无需查看脉冲响应即可确定输出的两件事是时间不变性和线性，因为它们是系统输入输出所具有的内在属性。但是，您无法比较/预测时标输入和标量相乘输入（甚至是延迟输入），因为这两种情况的频率组成不同（将时间缩放超过 1 倍会增加频率并且小于 1 会降低频率）这需要使用脉冲响应（系统在不同频率下的行为可能不同，这就是为什么我们有 H(s)，即系统的频率响应）。

让我们从一些观察开始。有些系统具有已知的行为来衡量信号的变化。两个自然的例子是常数系统和傅里叶变换。

一、系统$\mathcal{S}$与常数$h(t)=C$会对正比例因子不敏感$a>0$. 那么你应该得到：$\mathcal{S}(s(at))= \frac{1}{a}\mathcal{S(s(t))}$，因为系统本身对于缩放是不变的。

其次，对于傅里叶变换，你有著名的“缩放”属性$a$： 如果$s(t) \to S(\omega)$， 然后$s(at) \to \frac{1}{|a|}S\left(\frac{\omega}{a}\right)$.

正弦和余弦是 LTI 系统的原型不变函数，即保持其形状并且仅在幅度和相位上进行修改的那些。那么这意味着什么$t\to \cos(\omega t)$? 如果有人能知道输出$\mathcal{S}$到$t\to \cos(-2\omega t)=\cos(2\omega t)$从$t\to \cos(\omega t)$,好得令人难以置信：您可以从慢速信号中知道两倍快信号的答案！这将彻底改变所有传感器行业。这将是第一个教给 DSP 学生的工具。

因此，正如我们所知，观察可能来自不同的尺度（如不同距离的场景），图像处理和信号分析人们不得不开发许多或多或少精确的工具来在不同的尺度上工作，如多尺度变换、尺度- 不变的描述符等。

然而，在信号处理中研究的一些过程具有自相似性和尺度不变行为，并且一些工作一直在尝试设计尺度不变系统（而不是时不变），即使在离散时间（LSI for Linear Scale-Invariant system )，例如在连续膨胀离散时间自相似信号和线性尺度不变系统中，ICASSP 1998：

在本文中，我们提出了一种用于纯离散时间自相似过程和尺度不变系统的新模型。所开发的结果基于对离散时间缩放（等效膨胀或收缩）操作的新解释，该操作是通过离散时间和连续时间之间的映射定义的。结果表明，即使信号本身是离散时间的，也可以通过该操作获得连续的比例因子。我们研究确定性和随机离散时间自相似信号。然后我们推导出离散时间确定性自相似信号关于一些特定映射的存在条件。最后，我们讨论了离散时间线性尺度不变系统的构建，并展示了与随机自相似信号的白噪声驱动系统模型相关的结果。与连续时间的自相似信号不同，可以构造一大类非平凡的离散时间自相似信号。

然而，我在这个方向上找不到很多贡献。

不是不知道$h(t)$.

您可以通过以下简单的论证看到这一点。让您的压缩信号成为$x(2t)$其 CTFT 是$0.5 X(\omega/2)$并将其输出表示为$y_2(t)$和$Y_2(\omega)$. 那么你将有以下关系：

$$Y(\omega) = H(\omega) X(\omega) \tag{1}$$

$$Y_2(\omega) = H(\omega) X_2(\omega) = 0.5 H(\omega) X(\omega/2) = \tag{2}$$

使用 Eq.(1) 摆脱$X(\omega/2)$在等式（2）中

$$Y_2(\omega) =0.5 H(\omega) \frac{Y(\omega/2)}{ H(\omega/2)} = \frac{ 0.5 H(\omega)}{ H(\omega/2)} Y(\omega/2) \tag{3}$$

$$Y_2(\omega) = G(\omega) Y(\omega/2) \tag{4}$$

现在如果这个乘数$G(\omega)$不知不觉就知道了$H(\omega)$那么你也会知道$Y_2(\omega)$按照$Y(\omega)$. 但事实并非如此。