平等

$$\frac{1}{T}\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(j(\omega - k\frac{2\pi}{T})) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}x(kT)e^{-j\omega kT}\tag{1}$$

是泊松求和公式的一个实例。右边的术语$(1)$只是左侧周期函数的傅里叶级数表示$(1)$.

样品$x(kT)$时域信号的基本是采样信号周期频谱的傅里叶级数系数​​。

的意义$(1)$是它表明离散时间傅里叶变换 (DTFT)$X_d(e^{j\Omega})$序列的$x_d[k]=x(kT)$等于相应连续时间信号的傅里叶变换的周期化版本$x(t)$：

$$X_d(e^{j\Omega})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_d[k]e^{-jk\Omega}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{j(\Omega-2\pi k)}{T}\right),\qquad\Omega=\omega T\tag{2}$$

显然，如果$X(j\omega)$是带限的，具有最大频率$\omega_c<\pi/T$，然后在右边的总和中移动的光谱$(2)$不会重叠，即没有混叠和信号$x(t)$可以从其样本中无错误地重建$x(kT)$. 这意味着采样定理的基本形式隐含在等式中。$(2)$.